Vektori_ponavljanje_3a

Vektor  je usmjerena dužina kojoj razlikujemo početnu točku (hvatište) A i završnu točku (kraj,vrh) B.
Oznaka: \overrightarrow{AB} ili \vec a\quad
Vektor je određen ako poznajemo njegovu duljinu, smjer i orijentaciju.

Duljina vektora  \overrightarrow{AB}
je udaljenost između njegove početne i završne točke i označava se |\overrightarrow{AB}|.

Smjer vektora \overrightarrow{AB} određen je pravcem koji prolazi točkama A i B. Vektori koji leže na usorednim pravcima imaju isti smjer. Vektore istog smjera nazivamo kolinearnim vektorima. U suprotnom slučaju govorimo o nekolinearnim vektorima.

Vektor \overrightarrow{AB} orjentiran je od A prema B. Svaki vektor orjentiran je od početne točke prema završnoj točki.

Dva su vektora jednaka ako se podudaraju po duljini, smjeru i orijentaciji.
KRITERIJ ZA JEDNAKOST VEKTORA
Vektori  \overrightarrow{AB} i \overrightarrow{DC} jednaki su ako i samo ako je čtverokut ABCD paralelogram.

Za dva vektora kažemo da su suprotna ako imaju istu duljinu i smjer, a suprotnu orijentaciju. Vektor suprotan vektoru \vec a\quad označavamo -\vec a\quad.

Vektor kojemu se podudaraju početna i završna točka nazivamo nulvektor. Označavamo ga s \overrightarrow{0}. To znači da za svaku točku A vrijedi \overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}. Duljina nulvektora je 0, a smjer i orjentacija su mu proizvoljni. Smatra se da je nulvektor kolinearan sa svakim vektorom.

1

Dan je paralelogram ABCD. Točka O sjecište je njegovih dijagonala. Promatramo skup vektora kojima su početna i završna točka vrh paralelograma ili točka O.
1) Ispiši sve vektore koji imaju jednak smjer kao i vektor \overrightarrow{AO} 2) Ispiši sve vektore koji imaju jednaku orijentaciju kao i vektor \overrightarrow{AO} 3) Ispiši sve vektore koji imaju jednak smjer kao i vektor \overrightarrow{BD} 4) Ispiši sve vektore koji imaju jednaku orijentaciju kao i vektor \overrightarrow{BD}

1

Nacrtaj pravilan šesterokut ABCDEF. Neka je S sjecište dijagonala tog šesterokuta. Ispiši sve vektore kojima su početna i završna točka neki vrh šesterokuta ili točka S, a koji su 1) jednaki vektoru \overrightarrow{BC} 2) suprotni vektoru \overrightarrow{SA}

Zbrajanje vektora

1) PRAVILO PARALELOGRAMA
Nad vektorima \overrightarrow{OA} i \overrightarrow{OB} koji imaju istu početnu točku O konstruiramo paralelogrm kojemu su zadani vektori stranice. Tako dobiavmo četvrti vrh paralelograma C. Zbroj vektora \overrightarrow{OA} i \overrightarrow{OB}  dijagonala je  \overrightarrow{OC} paralelograma OACB.
To zapisujemo  \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}= \overrightarrow{OC}.



2) PRAVILO TROKUTA
Za vektore \vec a\quad i \vec b\quad kažemo da su ulančani ako se završna točka jednog podudara s početnom (hvatištem) drugog vektora.
Zbroj dvaju ulančanih vektora  \overrightarrow{AB} i \overrightarrow{BC} jest vektor \overrightarrow{AC} kojemu je hvatište u početnoj točki vektora \overrightarrow{AB} , a vrh u završnoj točki vektora \overrightarrow{BC}. 
To zapisujemo \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}.



Svojstva računske operacije zbrajanja vektora
- Komutativnost zbrajanja vektora:
za bilo koja dva vektora \vec a i \vec b  vrijedi \vec a+\vec b=\vec b+\vec a.

- Asocijativnost zbrajanja vektora:
za bilo koja tri vektora \vec a, \vec b i \vec c vrijedi ˙(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+ (\vec b+\vec c).

- Nulvektor je neutralni element za zbrajanje vektora:
za bilo koji vektor \vec a vrijedi \vec a +\vec 0=\vec 0 +\vec a=\vec a.

- Za svaki vektor \vec a postoji suprotni vektor -\vec a koji pri zbrajaju daju rezultat \vec0.
\vec a + (-\vec a)=(-\vec a)+\vec a=\vec 0

Oduzimanje vektora
Razlika vektora \vec a i \vec b je zbroj vektora \vec a i vektora -\vec b suprotnog vektoru \vec b.
\vec a - \vec b=\vec a+(-\vec b)

Zadan je pravilan šesterokut i sjecište njegovih dijagonala.

Odredi:

1

\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}:

1

\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}

1

\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CS}

1

\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DE}

1

\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{EF}

1

\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DE}

1

\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{AF}

Dan je paralelogram ABCD. Neka je točka S sjecište njegovih dijagonala. 

Odredi:

1

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}

1

\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{BS}

1

\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{CS}

1

\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}

1

\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}

1

\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{SC}

Nacrtaj neka tri vektora \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} i \overrightarrow{c}. 

Konstruiraj vektor:

1

\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}

1

\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}

1

\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}

Dana je pravokutna mreža kao na slici.

Odredi:

1

\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{MR}

1

\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{RN}

1

\overrightarrow{EH}-\overrightarrow{KB}

1

\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{GD}

MNOŽENJE VEKTORA SKALAROM
Vektor \overrightarrow{a} množi se skalarom \alpha tako da se dobije vektor \alpha \overrightarrow{a} sa svojstvima:
1. duljina mu je jednaka umnošku apsolutne vrijednosti skalara i duljine vektora: |\alpha\overrightarrow{a}|=|\alpha|\cdot|\overrightarrow{a}|
2. smjer mu je jednak smjeru vektora \overrightarrow{a}
3. orijentacija mu je jednaka orijentaciji vektora \overrightarrow{a} ako je \alpha>0, a suprotna orijentaciji vektora \overrightarrow{a} ako je \alpha<0.

Za \alpha=0 vektor \alpha\overrightarrow{a} jednak je nul-vektoru.

Za množenje vektora realnim brojem vrijede sljedeća svojstva:

- Za svaki vektor \overrightarrow{a} vrijedi 1\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}.
- Za svaki vektor \overrightarrow{a} i realne brojeve \alpha i \beta vrijedi \alpha(\beta\overrightarrow{a})=(\alpha\beta)\overrightarrow{a}.
- Za svaki vektor \overrightarrow{a} i realne brojeve \alpha i \beta vrijedi (\alpha+\beta)\overrightarrow{a}=\alpha\overrightarrow{a}+\beta\overrightarrow{a}.
- Za svaka dva vektora \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b} i realni broje \alpha vrijedi \alpha(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\alpha\overrightarrow{a}+\alpha\overrightarrow{b}.

Nacrtaj dva vektora \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b} različitog smjera pa konstruiraj:
npr.

1

2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}

1

\overrightarrow{a}-\displaystyle\frac{\overrightarrow{b}}{2}

1

\displaystyle\frac{1}{3}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})

1

\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{b}

1

Za koje vrijednosti broja k su vektori \overrightarrow{a} i k\overrightarrow{a} jednaki?

1

Za koje vrijednosti broja k su vektori \overrightarrow{a} i k\overrightarrow{a} suprotni?

1

Za koje vrijednosti broja k su vektori \overrightarrow{a} i k\overrightarrow{a} iste orijentacije?

1

Pojednostavni:
\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}

KRITERIJ KOLINEARNOSTI VEKTORA

Vektori \overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0} i \overrightarrow{b} kolinearni su ako i samo ako postoji skalar \alpha takav da vrijedi \overrightarrow{b}=\alpha\overrightarrow{a}.

1

Neka su \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b} dva nekolinearna vektora. Odredi realan broj x za koji su vektori \overrightarrow{c}=(x+2)\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} i \overrightarrow{d}=2x\overrightarrow{a}+(x-1)\overrightarrow{b} kolinearni vektori suprotne orijentacije.

LINEARNA NEZAVISNOST VEKTORA

Za dva vektora istog smjera kažemo da su linearno zavisni ili kolinearni vektori.
Za dva vektora koji nemaju isti smjer kažemo da su linearno nezavisni ili nekolinearni vektori.
Prema dogovoru, nul-vektor je linearno zavisan o svakom vektoru.

Linearna kombinacija vektora \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b} jest vektor u obliku \alpha\overrightarrow{a}+\beta\overrightarrow{b}, pri čemu su \alpha i \beta realni brojevi. Realne brojeve \alpha i \beta nazivamo koeficijentima linearne kombinacije.

RASTAV VEKTORA NA KOMPONENTE

Neka su \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b} nekolinearni vektori. Svaki se vektor \overrightarrow{c} na jednoznačan način može prikazati kao linearna kombinacija vektora \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b}:
\overrightarrow{c}=\alpha\overrightarrow{a}+\beta\overrightarrow{b}.
Koeficijente linearne kombinacije \alpha i \beta nazivamo koordinatama vektora \overrightarrow{c} u prikazu s pomoću vektora \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b}.
Vektore \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b} još nazivamo vektorima baze.

Dan je paralelogram ABCD.

Prikaži vektore:

1

\overrightarrow{AC} i \overrightarrow{BD} kao linearnu kombinaciju vektora \overrightarrow{AB} i \overrightarrow{AD}.

1

\overrightarrow{AD} i \overrightarrow{AB} kao linearnu kombinaciju vektora \overrightarrow{AC} i \overrightarrow{BD}.

1

Točke A, B, C, D, E i F vrhovi su pravilnog šesterokuta. Ako je \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{e_2}, prikaži vektore \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD} i \overrightarrow{AE} kao linearnu kombinaciju vektora \overrightarrow{e_1} i \overrightarrow{e_2}.

1

Točka M polovište je stranice \overline{BC}, a točka N stranice \overline{CD} paralelograma ABCD. Prikaži vektore \overrightarrow{AB} i \overrightarrow{AD} kao linearne kombinacije vektora \overrightarrow{AM} i \overrightarrow{AN}.

Vektori u Kartezijevom ili pravokutnom koordinatnom sustavu

\vec i jedinični vektor na osi apscisa
\vec j  jedinični vektor na osi ordinata
(\vec i, \vec j) baza Kartezijevog koordinatnog sustava

Za svaku točku T(x,y)  vektor \overrightarrow{OT} s hvatištem u ishodištu koordinatnog sustava prikazuje se kao linearna kombinacija jediničnih vektora \vec i i\vec j u obliku
 \overrightarrow{OT}=x\vec i+y\vec  j. Realne brojeve x i y nazivamo koordinate vektora \overrightarrow{OT}.

Vektor \overrightarrow{AB} s hvatištem u točki A(x_1,y_1) i vrhom u točki B(x_2,y_2) ima prikaz \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1)\vec i+(y_2-y_1)\vec j. 

1

Zadane su točke C(\frac{1}{2},\frac{3}{4})i D(−\frac{3}{4},\frac{5}{2}). Vektor \overrightarrow{CD}=\frac{5}{4}\vec i-\frac{7}{4}\vec j.

1

Vektor kojemu je hvatište u ishodištu, a vrh u točki S(3,-5) je \overrightarrow{OS}=3\vec i-5\vec j.

KRITERIJ ZA JEDNAKOSTI VEKTORA
Dva su vektora \vec a=a_x\vec i+a_y\vec j i \vec b=b_x\vec i+b_y\vec j ako i samo ako su im odgovarajuće koordinate jednake, odnosno a_x=b_x i a_y=b_y.

1

Ako su A(1,−1), B(3,2) i C(−2,3) tri uzastopna vrha paralelograma ABCD, odredi koordinate četvrtog vrha D.

1

Točke B(1,−2) i C(3,2) vrhovi su paralelograma ABCD, a točka S(−\frac{1}{2},\frac{3}{2}) sjecište je njegovih dijagonala. Odredi vrhove A i D ovog paralelograma.

1

Dane su točke A(-1, 2), B(5, -2), C(1, 3) i D(0, 0). Vektor \overrightarrow{AB} prikaži kao linearnu kombinaciju vektora \overrightarrow{AC} i \overrightarrow{AD}.

Duljina vektora
Duljina vektora \overrightarrow{AB} zadanoga krajnjim točkama A(x_1,y_1) i B(x_2,y_2) jednaka je
|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.


Duljina vektora \vec a=x\vec i+y\vec j jednaka je |\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}.

Jedinični vektor ili ort
Za svaaki vektor \vec a_0 kažemo da je jedinični vektor ili ort ako je njegova duljina |\vec a_0|=1.

1

Odredi jedinični vektor istog smjera i orijentacije kao i vektor \overrightarrow{AB}, A(3,1), B(−1,−2).

1

Odredi vektor \vec v kolinearan s vektorom \overrightarrow{AB}, gdje je A(2,−1), B(−1,3) ako je |\vec v |=20.

1

Odredi apscisu x točke C(x,1) tako da ta točka pripada pravcu AB, A(−4,−3),B(2,0).

Skalarni umnožak dvaju vektora različitih od nulvektora, realni je broj jednak umnošku duljina tih vektora i kosinusu kuta među tim vektorima, tj. \vec a \cdot \vec b=|\vec a|\cdot |\vec b|\cdot cos \angle (\vec a, \vec b).
Kod skalarnog umnoška rezultat je skalar (broj).

Svojstva skalarnog množenja vektora:
1.pozitivnost: za svaki vektor \vec a vrijedi
\vec a \cdot \vec a \geqslant 0,    \vec a \cdot \vec a=0  \Leftrightarrow \vec a = \vec 0
2.komutativnost: za svaka dva vektora \vec a i \vec b vrijedi
\vec a \cdot\vec b =\vec b \cdot \vec a
3.homogenost: za svaka dva vektora \vec a i  \vec b vrijedi
(\alpha \vec a)\cdot \vec b = \alpha (\vec a\cdot \vec b)
4.distributivnost: za bilo koja tri vektora \vec a, \vec b i \vec c vrijedi
(\vec a + \vec b)\cdot \vec c =\vec a \cdot \vec b+\vec b \cdot \vec c.

Skalarni umnožak vektora zadanih koordinatama
Skalarni umnožak vektora \vec a=a_x \vec i+ a_y \vec j i \vec b=b_x \vec i+ b_y \vec j jednak je 
\vec a \cdot \vec b=a_x b_x+a_y b_y.
Vektori \vec a= a_x\vec i+a_y\vec j i \vec b=b_x\vec i+b_y \vec j okomiti su ako i samo ako je a_x b_x+a_y b_y=0.

4

Kako vrijednost skalarnog umnoška \vec a \cdot \vec b , \vec a \neq \vec 0, \vec b\neq \vec 0 ovsi o kutu između vektora, φ?

Draggable item		Corresponding Item
φ je pravi kut		\vec a \cdot \vec b = \vec 0

φ je šiljasti kut		\vec a \cdot \vec b > 0
φ je tupi kut		\vec a \cdot \vec b < 0

1

Kvadrat vektora jednak je kvadratu njegova modula, tj. \vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2

1

Dva vektora od kojih nijedan nije nulvektor jesu okomita ako i samo ako im je skalarani umnožak jednak nuli.

1

Skalarni umnožak nije komutativan.

1

Za skalarni umnožak ne vrijedi svojstvo distributivnosti množenja prema zbrajanju.

1

Pridružite izrazu pripadajuću vrijednost.

Draggable item		Corresponding Item
\vec i \cdot \vec j=\vec j \cdot \vec i		=0
		=1

1

Kut između vektora \vec a i \vec b je 120^\circ. Ako je |\vec a |=5, |\vec b |=4 koliko je (\vec a - \vec b)^2?

1

Odredi vektor \vec b kolinearan s vektorom \vec a =\vec i-2\vec j ako je \vec a \cdot \vec b=-15.

1

Odredi kut između vektora \vec p + \vec q i \vec p-\vec q ako je \vec p= 3\vec i - 2\vec j , \vec q=−\vec i +4\vec q.

1

Nacrtaj pravilan šesterokut ABCDEF. Neka je S sjecište dijagonala tog šesterokuta. Ispiši sve vektore kojima su početna i završna točka neki vrh šesterokuta ili točka S, a koji su 1) jednaki vektoru \overrightarrow{BC} 2) suprotni vektoru \overrightarrow{SA}

\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}:

\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}

\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CS}

\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DE}

\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{EF}

\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DE}

\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{AF}

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}

\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{BS}

\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{CS}

\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}

\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}

\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{SC}

\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}

\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}

\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}

\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{MR}

\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{RN}

\overrightarrow{EH}-\overrightarrow{KB}

\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{GD}

2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}

\overrightarrow{a}-\displaystyle\frac{\overrightarrow{b}}{2}

\displaystyle\frac{1}{3}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})

\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{b}

Za koje vrijednosti broja k su vektori \overrightarrow{a} i k\overrightarrow{a} jednaki?

Za koje vrijednosti broja k su vektori \overrightarrow{a} i k\overrightarrow{a} suprotni?

Za koje vrijednosti broja k su vektori \overrightarrow{a} i k\overrightarrow{a} iste orijentacije?

Pojednostavni:\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}

Neka su \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b} dva nekolinearna vektora. Odredi realan broj x za koji su vektori \overrightarrow{c}=(x+2)\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} i \overrightarrow{d}=2x\overrightarrow{a}+(x-1)\overrightarrow{b} kolinearni vektori suprotne orijentacije.

\overrightarrow{AC} i \overrightarrow{BD} kao linearnu kombinaciju vektora \overrightarrow{AB} i \overrightarrow{AD}.

\overrightarrow{AD} i \overrightarrow{AB} kao linearnu kombinaciju vektora \overrightarrow{AC} i \overrightarrow{BD}.

Točka M polovište je stranice \overline{BC}, a točka N stranice \overline{CD} paralelograma ABCD. Prikaži vektore \overrightarrow{AB} i \overrightarrow{AD} kao linearne kombinacije vektora \overrightarrow{AM} i \overrightarrow{AN}.

Zadane su točke C(\frac{1}{2},\frac{3}{4})i D(−\frac{3}{4},\frac{5}{2}). Vektor \overrightarrow{CD}=\frac{5}{4}\vec i-\frac{7}{4}\vec j.

Vektor kojemu je hvatište u ishodištu, a vrh u točki S(3,-5) je \overrightarrow{OS}=3\vec i-5\vec j.

Ako su A(1,−1), B(3,2) i C(−2,3) tri uzastopna vrha paralelograma ABCD, odredi koordinate četvrtog vrha D.

Točke B(1,−2) i C(3,2) vrhovi su paralelograma ABCD, a točka S(−\frac{1}{2},\frac{3}{2}) sjecište je njegovih dijagonala. Odredi vrhove A i D ovog paralelograma.

Dane su točke A(-1, 2), B(5, -2), C(1, 3) i D(0, 0). Vektor \overrightarrow{AB} prikaži kao linearnu kombinaciju vektora \overrightarrow{AC} i \overrightarrow{AD}.

Odredi jedinični vektor istog smjera i orijentacije kao i vektor \overrightarrow{AB}, A(3,1), B(−1,−2).

Odredi vektor \vec v kolinearan s vektorom \overrightarrow{AB}, gdje je A(2,−1), B(−1,3) ako je |\vec v |=20.

Odredi apscisu x točke C(x,1) tako da ta točka pripada pravcu AB, A(−4,−3),B(2,0).

Kako vrijednost skalarnog umnoška \vec a \cdot \vec b , \vec a \neq \vec 0, \vec b\neq \vec 0 ovsi o kutu između vektora, φ?

Kvadrat vektora jednak je kvadratu njegova modula, tj. \vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2

Dva vektora od kojih nijedan nije nulvektor jesu okomita ako i samo ako im je skalarani umnožak jednak nuli.

Skalarni umnožak nije komutativan.

Za skalarni umnožak ne vrijedi svojstvo distributivnosti množenja prema zbrajanju.

Pridružite izrazu pripadajuću vrijednost.

Kut između vektora \vec a i \vec b je 120^\circ. Ako je |\vec a |=5, |\vec b |=4 koliko je (\vec a - \vec b)^2?

Odredi vektor \vec b kolinearan s vektorom \vec a =\vec i-2\vec j ako je \vec a \cdot \vec b=-15.

Odredi kut između vektora \vec p + \vec q i \vec p-\vec q ako je \vec p= 3\vec i - 2\vec j , \vec q=−\vec i +4\vec q.

Uporabom skalarnog umnoška dokaži da je trokut ABC, A(−2,−5) B(2,−7), C(4,7) pravokutan.

Pojednostavni:
\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}