Vektori_ponavljanje_3a

Vektor je usmjerena dužina kojoj razlikujemo početnu točku (hvatište) A i završnu točku (kraj,vrh) B.

Oznaka: \overrightarrow{AB} ili \vec a\quad

Vektor je određen ako poznajemo njegovu duljinu, smjer i orijentaciju.

Duljina vektora \overrightarrow{AB}

je udaljenost između njegove početne i završne točke i označava se |\overrightarrow{AB}|.

Smjer vektora \overrightarrow{AB} određen je pravcem koji prolazi točkama A i B. Vektori koji leže na usorednim pravcima imaju isti smjer. Vektore istog smjera nazivamo kolinearnim vektorima. U suprotnom slučaju govorimo o nekolinearnim vektorima.

Vektor \overrightarrow{AB} orjentiran je od A prema B. Svaki vektor orjentiran je od početne točke prema završnoj točki.

Dva su vektora jednaka ako se podudaraju po duljini, smjeru i orijentaciji.

KRITERIJ ZA JEDNAKOST VEKTORA

Vektori \overrightarrow{AB} i \overrightarrow{DC} jednaki su ako i samo ako je čtverokut ABCD paralelogram.

Za dva vektora kažemo da su suprotna ako imaju istu duljinu i smjer, a suprotnu orijentaciju. Vektor suprotan vektoru \vec a\quad označavamo -\vec a\quad.

Vektor kojemu se podudaraju početna i završna točka nazivamo nulvektor. Označavamo ga s \overrightarrow{0}. To znači da za svaku točku A vrijedi \overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}. Duljina nulvektora je 0, a smjer i orjentacija su mu proizvoljni. Smatra se da je nulvektor kolinearan sa svakim vektorom.

1

Dan je paralelogram ABCD. Točka O sjecište je njegovih dijagonala. Promatramo skup vektora kojima su početna i završna točka vrh paralelograma ili točka O.
1) Ispiši sve vektore koji imaju jednak smjer kao i vektor \overrightarrow{AO} 2) Ispiši sve vektore koji imaju jednaku orijentaciju kao i vektor \overrightarrow{AO} 3) Ispiši sve vektore koji imaju jednak smjer kao i vektor \overrightarrow{BD} 4) Ispiši sve vektore koji imaju jednaku orijentaciju kao i vektor \overrightarrow{BD}

1

Nacrtaj pravilan šesterokut ABCDEF. Neka je S sjecište dijagonala tog šesterokuta. Ispiši sve vektore kojima su početna i završna točka neki vrh šesterokuta ili točka S, a koji su 1) jednaki vektoru \overrightarrow{BC} 2) suprotni vektoru \overrightarrow{SA}

Zbrajanje vektora

1) PRAVILO PARALELOGRAMA

Nad vektorima \overrightarrow{OA} i \overrightarrow{OB} koji imaju istu početnu točku O konstruiramo paralelogrm kojemu su zadani vektori stranice. Tako dobiavmo četvrti vrh paralelograma C. Zbroj vektora \overrightarrow{OA} i \overrightarrow{OB} dijagonala je \overrightarrow{OC} paralelograma OACB.

To zapisujemo \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}= \overrightarrow{OC}.

null

2) PRAVILO TROKUTA

Za vektore \vec a\quad i \vec b\quad kažemo da su ulančani ako se završna točka jednog podudara s početnom (hvatištem) drugog vektora.

Zbroj dvaju ulančanih vektora \overrightarrow{AB} i \overrightarrow{BC} jest vektor \overrightarrow{AC} kojemu je hvatište u početnoj točki vektora \overrightarrow{AB} , a vrh u završnoj točki vektora \overrightarrow{BC}.

To zapisujemo \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}.

null

Svojstva računske operacije zbrajanja vektora

- Komutativnost zbrajanja vektora:

za bilo koja dva vektora \vec a i \vec b vrijedi \vec a+\vec b=\vec b+\vec a.

- Asocijativnost zbrajanja vektora:

za bilo koja tri vektora \vec a, \vec b i \vec c vrijedi ˙(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+ (\vec b+\vec c).

- Nulvektor je neutralni element za zbrajanje vektora:

za bilo koji vektor \vec a vrijedi \vec a +\vec 0=\vec 0 +\vec a=\vec a.

- Za svaki vektor \vec a postoji suprotni vektor -\vec a koji pri zbrajaju daju rezultat \vec0.

\vec a + (-\vec a)=(-\vec a)+\vec a=\vec 0

Oduzimanje vektora

Razlika vektora \vec a i \vec b je zbroj vektora \vec a i vektora -\vec b suprotnog vektoru \vec b.

\vec a - \vec b=\vec a+(-\vec b)

null

Zadan je pravilan šesterokut i sjecište njegovih dijagonala.

null

Odredi:

1

\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}:

1

\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}

\overrightarrow{BF}

\overrightarrow{CA}

\overrightarrow{AC}

\overrightarrow{EC}

1

\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CS}

\overrightarrow{FB}

\overrightarrow{EC}

\overrightarrow{BF}

\overrightarrow{BC}

1

\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DE}

1

\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{EF}

1

\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DE}

1

\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{AF}

Dan je paralelogram ABCD. Neka je točka S sjecište njegovih dijagonala.

null

Odredi:

1

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}

1

\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{BS}

1

\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{CS}

1

\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}

1

\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}

1

\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{SC}

Nacrtaj neka tri vektora \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} i \overrightarrow{c}.

null

Konstruiraj vektor:

1

\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}

1

\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}

1

\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}

Dana je pravokutna mreža kao na slici.

null

Odredi:

1

\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{MR}

1

\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{RN}

1

\overrightarrow{EH}-\overrightarrow{KB}

1

\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{GD}

MNOŽENJE VEKTORA SKALAROM

Vektor \overrightarrow{a} množi se skalarom \alpha tako da se dobije vektor \alpha \overrightarrow{a} sa svojstvima:

1. duljina mu je jednaka umnošku apsolutne vrijednosti skalara i duljine vektora: |\alpha\overrightarrow{a}|=|\alpha|\cdot|\overrightarrow{a}|

2. smjer mu je jednak smjeru vektora \overrightarrow{a}

3. orijentacija mu je jednaka orijentaciji vektora \overrightarrow{a} ako je \alpha>0, a suprotna orijentaciji vektora \overrightarrow{a} ako je \alpha<0.

Za \alpha=0 vektor \alpha\overrightarrow{a} jednak je nul-vektoru.

Za množenje vektora realnim brojem vrijede sljedeća svojstva:

- Za svaki vektor \overrightarrow{a} vrijedi 1\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}.

- Za svaki vektor \overrightarrow{a} i realne brojeve \alpha i \beta vrijedi \alpha(\beta\overrightarrow{a})=(\alpha\beta)\overrightarrow{a}.

- Za svaki vektor \overrightarrow{a} i realne brojeve \alpha i \beta vrijedi (\alpha+\beta)\overrightarrow{a}=\alpha\overrightarrow{a}+\beta\overrightarrow{a}.

- Za svaka dva vektora \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b} i realni broje \alpha vrijedi \alpha(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\alpha\overrightarrow{a}+\alpha\overrightarrow{b}.

Nacrtaj dva vektora \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b} različitog smjera pa konstruiraj:

npr.

null

1

2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}

1

\overrightarrow{a}-\displaystyle\frac{\overrightarrow{b}}{2}

1

\displaystyle\frac{1}{3}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})

1

\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{b}

1

Za koje vrijednosti broja k su vektori \overrightarrow{a} i k\overrightarrow{a} jednaki?

k=0

k=-1

k=1

1

Za koje vrijednosti broja k su vektori \overrightarrow{a} i k\overrightarrow{a} suprotni?

k=1

k=-1

k=0

1

Za koje vrijednosti broja k su vektori \overrightarrow{a} i k\overrightarrow{a} iste orijentacije?

k<0

k=-1

k>0

1

Pojednostavni:
\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}

KRITERIJ KOLINEARNOSTI VEKTORA

Vektori \overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0} i \overrightarrow{b} kolinearni su ako i samo ako postoji skalar \alpha takav da vrijedi \overrightarrow{b}=\alpha\overrightarrow{a}.

1

Neka su \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b} dva nekolinearna vektora. Odredi realan broj x za koji su vektori \overrightarrow{c}=(x+2)\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} i \overrightarrow{d}=2x\overrightarrow{a}+(x-1)\overrightarrow{b} kolinearni vektori suprotne orijentacije.

LINEARNA NEZAVISNOST VEKTORA

Za dva vektora istog smjera kažemo da su linearno zavisni ili kolinearni vektori.

Za dva vektora koji nemaju isti smjer kažemo da su linearno nezavisni ili nekolinearni vektori.

Prema dogovoru, nul-vektor je linearno zavisan o svakom vektoru.

Linearna kombinacija vektora \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b} jest vektor u obliku \alpha\overrightarrow{a}+\beta\overrightarrow{b}, pri čemu su \alpha i \beta realni brojevi. Realne brojeve \alpha i \beta nazivamo koeficijentima linearne kombinacije.

RASTAV VEKTORA NA KOMPONENTE

Neka su \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b} nekolinearni vektori. Svaki se vektor \overrightarrow{c} na jednoznačan način može prikazati kao linearna kombinacija vektora \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b}:

\overrightarrow{c}=\alpha\overrightarrow{a}+\beta\overrightarrow{b}.

Koeficijente linearne kombinacije \alpha i \beta nazivamo koordinatama vektora \overrightarrow{c} u prikazu s pomoću vektora \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b}.

Vektore \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b} još nazivamo vektorima baze.

Dan je paralelogram ABCD.

null

Prikaži vektore:

1

\overrightarrow{AC} i \overrightarrow{BD} kao linearnu kombinaciju vektora \overrightarrow{AB} i \overrightarrow{AD}.

1

\overrightarrow{AD} i \overrightarrow{AB} kao linearnu kombinaciju vektora \overrightarrow{AC} i \overrightarrow{BD}.

1

Točke A, B, C, D, E i F vrhovi su pravilnog šesterokuta. Ako je \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{e_2}, prikaži vektore \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD} i \overrightarrow{AE} kao linearnu kombinaciju vektora \overrightarrow{e_1} i \overrightarrow{e_2}.

1

Točka M polovište je stranice \overline{BC}, a točka N stranice \overline{CD} paralelograma ABCD. Prikaži vektore \overrightarrow{AB} i \overrightarrow{AD} kao linearne kombinacije vektora \overrightarrow{AM} i \overrightarrow{AN}.

Vektori u Kartezijevom ili pravokutnom koordinatnom sustavu

\vec i jedinični vektor na osi apscisa

\vec j jedinični vektor na osi ordinata

(\vec i, \vec j) baza Kartezijevog koordinatnog sustava

Za svaku točku T(x,y) vektor \overrightarrow{OT} s hvatištem u ishodištu koordinatnog sustava prikazuje se kao linearna kombinacija jediničnih vektora \vec i i\vec j u obliku

\overrightarrow{OT}=x\vec i+y\vec j. Realne brojeve x i y nazivamo koordinate vektora \overrightarrow{OT}.

Vektor \overrightarrow{AB} s hvatištem u točki A(x_1,y_1) i vrhom u točki B(x_2,y_2) ima prikaz \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1)\vec i+(y_2-y_1)\vec j.

1

Zadane su točke C(\frac{1}{2},\frac{3}{4})i D(−\frac{3}{4},\frac{5}{2}). Vektor \overrightarrow{CD}=\frac{5}{4}\vec i-\frac{7}{4}\vec j.

Tačno

Netačno

1

Vektor kojemu je hvatište u ishodištu, a vrh u točki S(3,-5) je \overrightarrow{OS}=3\vec i-5\vec j.

Tačno

Netačno

KRITERIJ ZA JEDNAKOSTI VEKTORA

Dva su vektora \vec a=a_x\vec i+a_y\vec j i \vec b=b_x\vec i+b_y\vec j ako i samo ako su im odgovarajuće koordinate jednake, odnosno a_x=b_x i a_y=b_y.

1

Ako su A(1,−1), B(3,2) i C(−2,3) tri uzastopna vrha paralelograma ABCD, odredi koordinate četvrtog vrha D.

1

Točke B(1,−2) i C(3,2) vrhovi su paralelograma ABCD, a točka S(−\frac{1}{2},\frac{3}{2}) sjecište je njegovih dijagonala. Odredi vrhove A i D ovog paralelograma.

1

Dane su točke A(-1, 2), B(5, -2), C(1, 3) i D(0, 0). Vektor \overrightarrow{AB} prikaži kao linearnu kombinaciju vektora \overrightarrow{AC} i \overrightarrow{AD}.

Duljina vektora

Duljina vektora \overrightarrow{AB} zadanoga krajnjim točkama A(x_1,y_1) i B(x_2,y_2) jednaka je

|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.

Duljina vektora \vec a=x\vec i+y\vec j jednaka je |\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}.

Jedinični vektor ili ort

Za svaaki vektor \vec a_0 kažemo da je jedinični vektor ili ort ako je njegova duljina |\vec a_0|=1.

null

1

Odredi jedinični vektor istog smjera i orijentacije kao i vektor \overrightarrow{AB}, A(3,1), B(−1,−2).

1

Odredi vektor \vec v kolinearan s vektorom \overrightarrow{AB}, gdje je A(2,−1), B(−1,3) ako je |\vec v |=20.

1

Odredi apscisu x točke C(x,1) tako da ta točka pripada pravcu AB, A(−4,−3),B(2,0).

Skalarni umnožak dvaju vektora različitih od nulvektora, realni je broj jednak umnošku duljina tih vektora i kosinusu kuta među tim vektorima, tj. \vec a \cdot \vec b=|\vec a|\cdot |\vec b|\cdot cos \angle (\vec a, \vec b).

Kod skalarnog umnoška rezultat je skalar (broj).

Svojstva skalarnog množenja vektora:

1.pozitivnost: za svaki vektor \vec a vrijedi

\vec a \cdot \vec a \geqslant 0, \vec a \cdot \vec a=0 \Leftrightarrow \vec a = \vec 0

2.komutativnost: za svaka dva vektora \vec a i \vec b vrijedi

\vec a \cdot\vec b =\vec b \cdot \vec a

3.homogenost: za svaka dva vektora \vec a i \vec b vrijedi

(\alpha \vec a)\cdot \vec b = \alpha (\vec a\cdot \vec b)

4.distributivnost: za bilo koja tri vektora \vec a, \vec b i \vec c vrijedi

(\vec a + \vec b)\cdot \vec c =\vec a \cdot \vec b+\vec b \cdot \vec c.

Skalarni umnožak vektora zadanih koordinatama

Skalarni umnožak vektora \vec a=a_x \vec i+ a_y \vec j i \vec b=b_x \vec i+ b_y \vec j jednak je

\vec a \cdot \vec b=a_x b_x+a_y b_y.

Vektori \vec a= a_x\vec i+a_y\vec j i \vec b=b_x\vec i+b_y \vec j okomiti su ako i samo ako je a_x b_x+a_y b_y=0.

4

Kako vrijednost skalarnog umnoška \vec a \cdot \vec b , \vec a \neq \vec 0, \vec b\neq \vec 0 ovsi o kutu između vektora, φ?

Stavka koja se može prevući		Odgovarajuća stavka
φ je tupi kut		\vec a \cdot \vec b = \vec 0
φ je pravi kut
		\vec a \cdot \vec b > 0
φ je šiljasti kut		\vec a \cdot \vec b < 0

1

Kvadrat vektora jednak je kvadratu njegova modula, tj. \vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2

Tačno

Netačno

1

Dva vektora od kojih nijedan nije nulvektor jesu okomita ako i samo ako im je skalarani umnožak jednak nuli.

Tačno

Netačno

1

Skalarni umnožak nije komutativan.

Tačno

Netačno

1

Za skalarni umnožak ne vrijedi svojstvo distributivnosti množenja prema zbrajanju.

Tačno

Netačno

1

Pridružite izrazu pripadajuću vrijednost.

Stavka koja se može prevući		Odgovarajuća stavka
		=0
\vec i \cdot \vec j=\vec j \cdot \vec i		=1

1

Kut između vektora \vec a i \vec b je 120^\circ. Ako je |\vec a |=5, |\vec b |=4 koliko je (\vec a - \vec b)^2?

1

Odredi vektor \vec b kolinearan s vektorom \vec a =\vec i-2\vec j ako je \vec a \cdot \vec b=-15.

1

Odredi kut između vektora \vec p + \vec q i \vec p-\vec q ako je \vec p= 3\vec i - 2\vec j , \vec q=−\vec i +4\vec q.

1

Vektori_ponavljanje_3a

Nacrtaj pravilan šesterokut ABCDEF. Neka je S sjecište dijagonala tog šesterokuta. Ispiši sve vektore kojima su početna i završna točka neki vrh šesterokuta ili točka S, a koji su 1) jednaki vektoru \overrightarrow{BC} 2) suprotni vektoru \overrightarrow{SA}

\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}:

\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}

\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CS}

\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DE}

\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{EF}

\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DE}

\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{AF}

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}

\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{BS}

\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{CS}

\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}

\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}

\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{SC}

\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}

\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}

\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}

\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{MR}

\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{RN}

\overrightarrow{EH}-\overrightarrow{KB}

\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{GD}

2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}

\overrightarrow{a}-\displaystyle\frac{\overrightarrow{b}}{2}

\displaystyle\frac{1}{3}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})

\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{b}

Za koje vrijednosti broja k su vektori \overrightarrow{a} i k\overrightarrow{a} jednaki?

Za koje vrijednosti broja k su vektori \overrightarrow{a} i k\overrightarrow{a} suprotni?

Za koje vrijednosti broja k su vektori \overrightarrow{a} i k\overrightarrow{a} iste orijentacije?

Pojednostavni:\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}

Neka su \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b} dva nekolinearna vektora. Odredi realan broj x za koji su vektori \overrightarrow{c}=(x+2)\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} i \overrightarrow{d}=2x\overrightarrow{a}+(x-1)\overrightarrow{b} kolinearni vektori suprotne orijentacije.

\overrightarrow{AC} i \overrightarrow{BD} kao linearnu kombinaciju vektora \overrightarrow{AB} i \overrightarrow{AD}.

\overrightarrow{AD} i \overrightarrow{AB} kao linearnu kombinaciju vektora \overrightarrow{AC} i \overrightarrow{BD}.

Točka M polovište je stranice \overline{BC}, a točka N stranice \overline{CD} paralelograma ABCD. Prikaži vektore \overrightarrow{AB} i \overrightarrow{AD} kao linearne kombinacije vektora \overrightarrow{AM} i \overrightarrow{AN}.

Zadane su točke C(\frac{1}{2},\frac{3}{4})i D(−\frac{3}{4},\frac{5}{2}). Vektor \overrightarrow{CD}=\frac{5}{4}\vec i-\frac{7}{4}\vec j.

Vektor kojemu je hvatište u ishodištu, a vrh u točki S(3,-5) je \overrightarrow{OS}=3\vec i-5\vec j.

Ako su A(1,−1), B(3,2) i C(−2,3) tri uzastopna vrha paralelograma ABCD, odredi koordinate četvrtog vrha D.

Točke B(1,−2) i C(3,2) vrhovi su paralelograma ABCD, a točka S(−\frac{1}{2},\frac{3}{2}) sjecište je njegovih dijagonala. Odredi vrhove A i D ovog paralelograma.

Dane su točke A(-1, 2), B(5, -2), C(1, 3) i D(0, 0). Vektor \overrightarrow{AB} prikaži kao linearnu kombinaciju vektora \overrightarrow{AC} i \overrightarrow{AD}.

Odredi jedinični vektor istog smjera i orijentacije kao i vektor \overrightarrow{AB}, A(3,1), B(−1,−2).

Odredi vektor \vec v kolinearan s vektorom \overrightarrow{AB}, gdje je A(2,−1), B(−1,3) ako je |\vec v |=20.

Odredi apscisu x točke C(x,1) tako da ta točka pripada pravcu AB, A(−4,−3),B(2,0).

Kako vrijednost skalarnog umnoška \vec a \cdot \vec b , \vec a \neq \vec 0, \vec b\neq \vec 0 ovsi o kutu između vektora, φ?

Kvadrat vektora jednak je kvadratu njegova modula, tj. \vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2

Dva vektora od kojih nijedan nije nulvektor jesu okomita ako i samo ako im je skalarani umnožak jednak nuli.

Skalarni umnožak nije komutativan.

Za skalarni umnožak ne vrijedi svojstvo distributivnosti množenja prema zbrajanju.

Pridružite izrazu pripadajuću vrijednost.

Kut između vektora \vec a i \vec b je 120^\circ. Ako je |\vec a |=5, |\vec b |=4 koliko je (\vec a - \vec b)^2?

Odredi vektor \vec b kolinearan s vektorom \vec a =\vec i-2\vec j ako je \vec a \cdot \vec b=-15.

Odredi kut između vektora \vec p + \vec q i \vec p-\vec q ako je \vec p= 3\vec i - 2\vec j , \vec q=−\vec i +4\vec q.

Uporabom skalarnog umnoška dokaži da je trokut ABC, A(−2,−5) B(2,−7), C(4,7) pravokutan.

Nacrtaj pravilan šesterokut ABCDEF. Neka je S sjecište dijagonala tog šesterokuta. Ispiši sve vektore kojima su početna i završna točka neki vrh šesterokuta ili točka S, a koji su 1) jednaki vektoru \overrightarrow{BC} 2) suprotni vektoru \overrightarrow{SA}

\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}:

\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}

\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CS}

\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DE}

\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{EF}

\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DE}

\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{AF}

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}

\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{BS}

\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{CS}

\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}

\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}

\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{SC}

\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}

\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}

\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}

\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{MR}

\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{RN}

\overrightarrow{EH}-\overrightarrow{KB}

\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{GD}

2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}

\overrightarrow{a}-\displaystyle\frac{\overrightarrow{b}}{2}

\displaystyle\frac{1}{3}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})

\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{b}

Za koje vrijednosti broja k su vektori \overrightarrow{a} i k\overrightarrow{a} jednaki?

Za koje vrijednosti broja k su vektori \overrightarrow{a} i k\overrightarrow{a} suprotni?

Pojednostavni:
\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}

Pojednostavni:
\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}