Determinar los criterios para la semejanza de triángulos.
¿Cuál es la diferencia entre el uso común de la palabra similar (p. ej., los rectángulos son más similares entre sí que los rectángulos y los triángulos) y las convenciones matemáticas para la palabra? ¿Qué significa que dos polígonos sean semejantes?
¿Cómo puedo probar (o refutar) que dos triángulos son semejantes?
Two figures are said to be congruent if the second can be obtained from the first by a sequence of rotations, reflections, and translations. Previously we found that we only needed three pieces of information to guarantee that two triangles were congruent: SSS, ASA, or SAS.
Se dice que dos figuras son congruentes si la segunda puede obtenerse de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones y traslaciones. Previamente encontramos que solo necesitábamos tres piezas de información para garantizar que dos triángulos fueran congruentes: SSS, ASA o SAS.
1 point
1
Question 5
5.
What about AAA? Are two triangles congruent if all three pairs of corresponding angles are congruent?
¿Qué pasa con AAA? ¿Son dos triángulos congruentes si los tres pares de ángulos correspondientes son congruentes?
En esta tarea, consideraremos qué es cierto acerca de los triángulos que son similares, pero no congruentes.
Definición de similitud: dos figuras son similares si la segunda se puede obtener de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones.
Mason y Mia están probando conjeturas sobre polígonos similares. Aquí hay una lista de sus conjeturas.
Conjetura 1: Todos los rectángulos son semejantes.
Conjetura 2: Todos los triángulos equiláteros son semejantes.
Conjetura 3: Todos los triángulos isósceles son semejantes.
Conjetura 4: Todos los rombos son semejantes.
Conjetura 5: Todos los cuadrados son semejantes.
1 point
1
Question 6
6.
Which of these conjectures do you think are true? Why?
¿Cuáles de estas conjeturas crees que son ciertas? ¿Por qué?
Mason is explaining to Mia why he thinks conjecture 1 is true using the diagram.
“All rectangles have four right angles. I can translate and rotate rectangle ABCD until vertex A coincides with vertex Q in rectangle QRST. Since A and Q are both right angles, side AB will lie on top of side QR, and side AD will lie on top of side QT. I can then dilate rectangle ABCD with point A as the center of dilation, until points B, C, and D coincide with points R, S, and T.”
Mason le está explicando a Mia por qué cree que la conjetura 1 es verdadera usando el diagrama.
“Todos los rectángulos tienen cuatro ángulos rectos. Puedo trasladar y rotar el rectángulo ABCD hasta que el vértice A coincida con el vértice Q en el rectángulo QRST. Como A y Q son ambos ángulos rectos, el lado AB estará encima del lado QR y el lado AD estará encima del lado QT. Entonces puedo dilatar el rectángulo ABCD con el punto A como centro de dilatación, hasta que los puntos B, C y D coincidan con los puntos R, S y T”.
1 point
1
Question 7
7.
Does Mason’s explanation convince you that rectangle ABCD is similar to rectangle QRST based on the definition of similarity given above? Does his explanation convince you that all rectangles are similar? Why or why not?
¿La explicación de Mason lo convence de que el rectángulo ABCD es similar al rectángulo QRST según la definición de similitud dada anteriormente? ¿Su explicación te convence de que todos los rectángulos son similares? ¿Por qué o por qué no?
Mia is explaining to Mason why she thinks conjecture 2 is true using the diagram.
“All equilateral triangles have three 60o angles. I can translate and rotate
until vertex A coincides with vertex Q on
Since A and Q are both 60o angles, side AB will lie on top of side QR, and side AC will lie on top of side QS. I can then dilate
with point A as the center of dilation, until points B and C coincide with points R and S.”
Mia le explica a Mason por qué cree que la conjetura 2 es verdadera usando el diagrama.
“Todos los triángulos equiláteros tienen tres ángulos de 60o. Puedo traducir y rotar
hasta que el vértice A coincida con el vértice Q en
Como A y Q son ambos ángulos de 60o, el lado AB estará sobre el lado QR y el lado AC estará sobre el lado QS. entonces puedo dilatar
con el punto A como centro de dilatación, hasta que los puntos B y C coincidan con los puntos R y S.”
1 point
1
Question 8
8.
Does Mia’s explanation convince you that
is similar to
based on the definition of similarity given above? Does her explanation convince you that all equilateral triangles are similar? Why or why not?
For each of the other three conjectures, write an argument like Mason’s and Mia’s to convince someone that the conjecture is true, or explain why you think it is not always true.
Para cada una de las otras tres conjeturas, escribe un argumento como el de Mason y el de Mia para convencer a alguien de que la conjetura es cierta o explica por qué crees que no siempre es cierta.
1 point
1
Question 9
9.
Conjecture 3: All isosceles triangles are similar.
Conjetura 3: Todos los triángulos isósceles son semejantes.
1 point
1
Question 10
10.
Conjecture 4: All rhombuses are similar.
Conjetura 4: Todos los rombos son semejantes.
1 point
1
Question 11
11.
Conjecture 5: All squares are similar.
Conjetura 5: Todos los cuadrados son semejantes.
Mason has another conjecture: Scaled drawings of polygons are similar figures.
Here is what Mason knows about scaled drawings from previous work:
Corresponding angles of scaled drawings are congruent.
Corresponding sides of scaled drawings are proportional.
Mia proposes they try to justify this conjecture for scaled drawings of triangles. She has suggested the following diagram.
Mason tiene otra conjetura: los dibujos a escala de polígonos son figuras similares.
Esto es lo que Mason sabe sobre dibujos a escala de trabajos anteriores:
Los ángulos correspondientes de los dibujos a escala son congruentes.
Los lados correspondientes de los dibujos a escala son proporcionales.
Mia propone que traten de justificar esta conjetura con dibujos de triángulos a escala. Ella ha sugerido el siguiente diagrama.
1 point
1
Question 12
12.
Explain how you can use the definition of similar figures—two figures are similar if the second can be obtained from the first by a sequence of rotations, reflections, translations, and dilations—to show the following scaled drawings of triangles are similar.
Given: Corresponding angles of
and
are congruent, and corresponding sides are proportional by a scale factor k.
Explica cómo puedes usar la definición de figuras semejantes (dos figuras son semejantes si la segunda puede obtenerse de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones) para mostrar que los siguientes dibujos a escala de triángulos son semejantes.
Dado: Ángulos correspondientes de
y
son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales por un factor de escala k.
1 point
1
Question 13
13.
How can you extend Mia and Mason’s justification that scaled drawings of triangles are similar to show that scaled drawings of quadrilaterals are similar figures?
Given: Corresponding angles of quadrilateral ABCD and quadrilateral RSTU are congruent, and corresponding sides are proportional by a scale factor k.
¿Cómo puedes extender la justificación de Mia y Mason de que los dibujos a escala de triángulos son similares para mostrar que los dibujos a escala de cuadriláteros son figuras similares?
Dado: Los ángulos correspondientes del cuadrilátero ABCD y el cuadrilátero RSTU son congruentes, y los lados correspondientes son proporcionales por un factor de escala k.
1 point
1
Question 14
14.
In the English language, the word similar means:
En el idioma inglés, la palabra similar significa:
1 point
1
Question 15
15.
In a mathematical context, the word similar means:
En un contexto matemático, la palabra similar significa:
1 point
1
Question 16
16.
In an alternative definition, similarity of polygons means:
En una definición alternativa, similitud de polígonos significa:
1 point
1
Question 17
17.
How does this definition help you find the error in Mason’s thinking about conjecture 1?
¿Cómo te ayuda esta definición a encontrar el error en el pensamiento de Mason sobre la conjetura 1?
1 point
1
Question 18
18.
How does this definition help confirm Mia’s thinking about conjecture 2?
¿Cómo ayuda esta definición a confirmar el pensamiento de Mia sobre la conjetura 2?
How might this definition help you think about the other three conjectures?
¿Cómo podr ía ayudarte esta definición a pensar en las otras tres conjeturas?
1 point
1
Question 19
19.
Conjecture 3: All isosceles triangles are similar.
Conjetura 3: Todos los triángulos isósceles son semejantes.
1 point
1
Question 20
20.
Conjecture 4: All rhombuses are similar.'
Conjetura 4: Todos los rombos son semejantes.
1 point
1
Question 21
21.
Conjecture 5: All squares are similar.
Conjetura 5: Todos los cuadrados son semejantes.
1 point
1
Question 22
22.
Why is it useful to be able to define similar figures in two different ways:
(1) in terms of a sequence of transformations that include dilation and the rigid transformations, and
(2) in terms of congruent corresponding angles and proportional corresponding sides?
¿Por qué es útil poder definir figuras semejantes de dos maneras diferentes?
(1) en términos de una secuencia de transformaciones que incluyen la dilatación y las transformaciones rígidas, y
(2) en términos de ángulos correspondientes congruentes y lados correspondientes proporcionales?
AAA, SAS, and SSS Similarity
From our work with rectangles, it is obvious that knowing that all rectangles have four right angles (an example of AAAA for quadrilaterals) is not enough to claim that all rectangles are similar. What about triangles? In general, are two triangles similar if all three pairs of corresponding angles are congruent?
Similitud AAA, SAS y SSS
De nuestro trabajo con rectángulos, es obvio que saber que todos los rectángulos tienen cuatro ángulos rectos (un ejemplo de AAAA para cuadriláteros) no es suficiente para afirmar que todos los rectángulos son similares. ¿Qué pasa con los triángulos? En general, ¿son semejantes dos triángulos si los tres pares de ángulos correspondientes son congruentes?
1 point
1
Question 23
23.
Explain why the following conjecture is true.
Conjecture: Two triangles are similar if their corresponding angles are congruent.
Use the diagram to support your reasoning. Remember to start by marking what you are given to be true (AAA) in the diagram.
Explique por qué la siguiente conjetura es verdadera.
Conjetura: Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes.
Usa el diagrama para apoyar tu razonamiento. Recuerde comenzar marcando lo que se le da como verdadero (AAA) en el diagrama.
1 point
1
Question 24
24.
Mia thinks the following conjecture is true. She calls it “AA Similarity for Triangles.” What do you think? Is it true? Why?
Conjecture: Two triangles are similar if they have two pairs of corresponding congruent angles.
Mia piensa que la siguiente conjetura es verdadera. Ella lo llama "Similitud AA para triángulos". ¿Qué opinas? ¿Es verdad? ¿Por qué?
Conjetura: Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos congruentes correspondientes.
Using the diagram, how might you modify your proof that
if you are given the following information about the two triangles:
Usando el diagrama, ¿cómo podrías modificar tu prueba de que
si te dan la siguiente información sobre los dos triángulos:
1 point
1
Question 25
25.
that is,
1 point
1
Question 26
26.
that is
To prove that two polygons are similar, we need to show that all corresponding angles are congruent, and that all corresponding pairs of sides are proportional. However, if the polygons are triangles, we can show using less information by applying one of the following theorems:
Para probar que dos polígonos son similares, necesitamos demostrar que todos los ángulos correspondientes son congruentes y que todos los pares de lados correspondientes son proporcionales. Sin embargo, si los polígonos son triángulos, podemos mostrar usando menos información aplicando uno de los siguientes teoremas:
1 point
1
Question 27
27.
1 point
1
Question 28
28.
1 point
1
Question 29
29.
1 point
1
Question 30
30.
Reflecting on the work with triangle similarity theorems, I learned or was reminded of the following insights about the proof process:
Reflexionando sobre el trabajo con los teoremas de similitud de triángulos, aprendí o me acordé de las siguientes ideas sobre el proceso de demostración:
Adición de notación, vocabulario y convenciones
En el idioma inglés, la palabra similar significa: dos objetos que tienen algunas características en común.
En un contexto matemático, la palabra similar significa: una figura que se puede trasladar a otra figura mediante una secuencia de traslaciones, rotaciones, dilataciones y reflexiones.
En una definición alternativa, similitud de polígonos significa: dos polígonos son similares si todos los ángulos correspondientes son congruentes y todos los lados correspondientes son proporcionales.
1 point
1
Question 31
31.
Haz una lista para probar que los triángulos son semejantes.
Lesson Summary
Muhtasari wa Somo
Resumen de la lección
Incamake y'Isomo
Soo koobid Cashar
In this lesson, we examined what it means to say that two figures are similar geometrically, and we examined conditions under which two triangles will be similar. We wrote and justified several theorems for triangle similarity criteria.
En esta lección, examinamos lo que significa decir que dos figuras son similares geométricamente y examinamos las condiciones bajo las cuales dos triángulos serán similares. Escribimos y justificamos varios teoremas para criterios de similitud de triángulos.
Solve each proportion. Show your work and check your solution.
Resuelve cada proporción. Muestra tu trabajo y comprueba tu solución.
